3. Теоретический расчет пространственного распределения интенсивности света в условиях многократного рассеяния.

Решение задачи об импульсном лазерном возбуждении звука разбивается на три этапа:

(а) - расчет плотности тепловыделения в рассеивающей среде.

(б) - расчет теплового поля, создаваемого найденными на первом этапе источниками тепла.

(в) - нахождение акустического поля в среде, излучаемого рассчитанными выше тепловыми полями.

Каждая из этих задач не имеет в общем случае аналитического решения. Поэтому анализ термооптического возбуждения звука в рассеивающей среде возможен только при дополнительных упрощающих предположениях.

Рассмотрим полубесконечную среду с коэффициентами поглощения и рассеяния света m_a и m_s соответственно, занимающую полупространство z>0. В случае, если рассеяние преобладает над поглощением (), в среде реализуется режим многократного рассеяния излучения [40]. При падении на такую среду светового импульса с плоским волновым фронтом (интенсивность падающего лазерного излучения , характерная длительность импульса ) интенсивность излучения внутри среды может быть представлена как сумма ослабленного первичного пучка фотонов, еще не претерпевших рассеяния, и диффузного поля рассеянного света . Первая из этих составляющих быстро спадает с увеличением z [41]:

(3.1)

а вторая может быть найдена в диффузионном приближении (см., например, [38,39]):

(3.2)

где - квадрат коэффициента экстинкции света; - приведенный коэффициент рассеяния света, - средний косинус угла однократного рассеяния q; - средняя транспортная длина свободного пробега фотона, т. е. среднее расстояние, которое проходит фотон в среде без изменения своей траектории; - постоянная, зависящая от соотношения показателей преломления прозрачной и рассеивающей сред, - эффективный коэффициент отражения диффузного излучения от границы раздела. Известно [41,42,43], что диффузионное приближение достаточно хорошо описывает функцию вдали от границы рассеивающей среды и источников излучения (при ). Следовательно, интенсивность света внутри рассеивающей среды на расстояниях :

(3.3)

где функция

(3.4)

описывает пространственное распределение интенсивности света в диффузионном приближении и на расстояниях определяется только диффузной компонентой рассеянного светового поля (второе слагаемое в (3.3)), поскольку в приближении коэффициент экстинкции света .

В общем случае интенсивность света в рассеивающей среде представляется в виде , однако в области аналитическое выражение для пространственного распределения интенсивности света в среде H(z), полученное в рамках диффузионной теории, неправильно описывает реальную функцию H(z) в исследуемой среде (см., например, [14,21,44]). Поэтому для расчета пространственного распределения интенсивности света в исследуемой среде на расстояниях необходимо решить уравнение переноса излучения [40]:

(3.5)

где - угловой спектр интенсивности, т. е. интенсивность света в точке в направлении , - фазовая функция, - полный коэффициент ослабления света в рассеивающей среде, и - единичные векторы в направлении рапространения падающего и рассеянного фотонов (см. рис.1), - единичный телесный угол. В качестве

Рис.1: Пояснение к уравнению переноса излучения.

фазовой функции для случаев сильной анизотропии рассеяния обычно используют фазовую функцию Хеньи - Гринштейна [45]:

(3.6)

При падении на исследуемую рассеивающую среду светового импульса с плоским волновым фронтом уравнение (3.5) может быть преобразовано к виду:

(3.7)

где - единичный вектор в направлении оси 0z. Интенсивность света в исследуемой сильнорассеивающей среде в точке связана с лучевой интенсивностью следующим соотношением [40]:

(3.8)

Таким образом, решив интегродифференциальное уравнение (3.7), можно затем, используя формулу (3.8), рассчитать интенсивность света в любой точке исследуемой среды.

Для решения уравнения (3.7) представим лучевую интенсивность света внутри среды в виде суммы двух составляющих [40]: когерентной и диффузной . В результате из уравнения (3.7) получим:

(3.9а)

(3.9б)

где - функция источника для поля рассеяного света. Когерентная составляющая лучевой интенсивности может быть легко найдена как решение уравнения (3.9а). Для решения уравнения (3.9б) его необходимо дополнить граничным условием. Граничное условие переизлучения [21] устанавливает соотношение между диффузным светом, направленным вглубь рассеивающей среды, и долей диффузного света, отраженного на границе раздела сред:

(3.10)

где - френелевский коэффициент отражения для неполяризованного света (см. [21]).

Общий подход к решению уравнения (3.9б) заключается в том, что диффузная составляющая лучевой интенсивности представляется в виде разложения по полиномам Лежандра [40,42]:

(3.11а)

где - полином Лежандра k-го порядка (, где - угол между осью 0z и направлением движения фотона внутри среды). Для того, чтобы воспользоваться предложенным методом решения (3.9б) необходимо также записать разложение для фазовой функции и функции источника рассеяного поля :

(3.11б)

(3.11в)

Как показано в [44], коффициенты разложения функции источника могут быть представлены в виде:

(3.12)

Подставляя (3.11а),(3.11б) и (3.11в) в уравнение (3.9б), умножая последовательно на , где l = (0, 1, …, N), и интегрируя по полному телесному углу , с учетом ортогональности соответствующих полиномов Лежандра, получим систему (N+1) независимых дифференциальных уравнений для коэффициентов разложения диффузной компоненты лучевой интенсивности. Затем, подставив полученные значения в (3.11а), можно просуммировать получившийся ряд и найти величину , и, следовательно, используя (3.8), - диффузную компоненту интенсивности света в исследуемой среде.

Так как решить систему из бесконечного числа дифференциальных уравнений в принципе невозможно, число членов ряда в (3.11а) ограничивают. Рассмотренное в начале раздела диффузионное приближение получается, если положить в (3.11а) N=1, т. е. представить диффузную компоненту лучевой интенсивности в виде разложения по полиномам Лежандра 0-го и 1-го порядков:

(3.13)

где - интенсивность света в исследуемой рассеивающей среде, - модуль потока фотонов в среде. Тогда:

(3.14)

Очевидно, что представить ряд (3.11а) в виде (3.14) с достаточной точностью можно только в том случае, когда, во-первых, коэффициенты в (3.11а) убывают достаточно быстро с ростом k, а, во-вторых, второе слагаемое в (3.14) заметно меньше первого. Последнее требование можно считать выполненным, если фотон уже испытал на своем пути в исследуемой среде 2-3 акта рассеяния [40,44], т. е. на глубине . Поэтому, как и указывалось выше, диффузионная теория достаточно точно описывает пространственное распределение интенсивности света H(z) в исследуемой рассеивающей среде только на растояниях . Для расчета величины H(z) на меньших глубинах необходимо использовать в (3.11а) более высокие порядки разложения, причем точность расчетов будет тем выше, чем больше N.

Полагая в (3.11а) N=5 получим следующую систему дифференциальных уравнений для коэффициентов разложения диффузной компоненты лучевой интенсивности по полиномам Лежандра [42]:

(3.15а)

(3.15б)

(3.15в)

(3.15г)

(3.15д)

(3.15е)

где , а определяются формулой (3.12). Граничное условие (3.10) подстановкой (3.11а) сводится к следующему виду:

(3.16а)

(3.16б)

(3.16в)

где все берутся при z=0, а

(3.17)

Решение системы (3.15) можно получить в виде:

(3.18)

где - произвольные константы, а , и являются сложными функциями оптических характеристик исследуемой среды - коэффициента поглощения света , коэффициента рассеяния света и показателя анизотропии g - и рассчитываются при решении системы (3.15) с использованием ЭВМ. Из условия (на бесконечности диифузная интенсивность в среде должна обращаться в 0) следует, что . Остальные три произвольные константы как функции известных величин и могут быть легко получены с помощью системы (3.16).

Интенсивность диффузной составляющей света можно определить, подставляя величину в виде ряда (3.11а) с коэффициентами разложения , определяемыми (3.18) в формулу (3.8):

(3.19)

где учтено, что , . Нормировав (3.19) на величину интенсивности падающего лазерного излучения , окончательно получаем выражение для пространственного распределения интенсивности света H(z) в исследуемой рассеивающей среде в P₅-приближении:

(3.20)

где определяется формулой (3.1).

Таким образом, рассмотренное P₅-приближение позволяет производить расчет величины H(z) в исследуемой среде с известными оптическими характеристиками - коэффициентом поглощения света , коэффициентом рассеяния света и показателем анизотропии g. Как известно [32,34], характерной особенностью любой рассеивающей свет среды является наличие локального максимума интенсивности света в приповерхностном слое среды. Полагая

(3.21)

можно, используя (3.20), найти положение максимума интенсивности света в исследуемой среде. Следует отметить, что получение аналитического выражения для как функции оптических характеристик среды затруднительно с точки зрения математики (в формуле (3.21) стоит сумма четырех экспонент). Кроме того, величины , и сами являются весьма сложными функциями оптических характеристик среды, и аналитические выражения для этих величин не могут быть аккуратно упрощены даже в приближении и . Тем не менее для известных значений , , и g положение максимума интенсивности света в исследуемой среде может быть определено по профилю H(z), рассчитанному с использованием формулы (3.20).

Исследование особенностей пространственного распределения интенсивности света H(z) в сильнорассеивающих средах можно проводить при помощи численного моделирования методом Монте-Карло (см. разд.1). Результаты моделирования [34,38] показывают, что в случае положение максимума интенсивности света в сильнорассеивающей среде определяется только транспортной длиной свободного пробега фотона и эффективным коэффициентом отражения диффузного излучения от границы раздела и не зависит от величины коэффициента поглощения света . Если величина фактора анизотропии рассеяния света 0.78, положение максимума интенсивности света в исследуемой среде описывается формулой [34]:

(3.22)

В то же время было показано, что H(z) при совпадает с распределением h(z) (3.7). Поэтому на таких расстояниях диффузионное приближение, рассмотренное в начале этого раздела, применимо для расчета пространственного распределения интенсивности света в рассеивающей среде.