7. Обсуждение результатов.

Как было указано в разд.5, для получения универсальной зависимости положения максимума интенсивности света в рассеивающей свет среде от оптических характеристик этой среды могут быть использованы три различных способа. Рассмотрим эти способы более подробно.

А) Эксперимент.

Измеряется зависимость величины от отношения , представленная на рис.3. Значения и измеряются по временному профилю

Рис.3: Зависимость произведения положения максимума интенсивности света в рассеивающей среде на коэффициент экстинкции света в среде от отношения коэффициента поглощения света в исследуемой среде к коэффициенту экстинкции .

переднего фронта ОА сигнала, зарегистрированного в относительных единицах, то есть без измерения абсолютного значения давления. Величина коэффициента поглощения света определяется из независимых измерений по методике, описанной в конце разд.7. При этом ошибка в определении коэффициента экстинкции света составляет 1-2%, а коэффициента поглощения света - 2-3% (см. разд. 5,7). Относительная погрешность измерения величины , как указано в [38,39], не превосходит 5-6%. Таким образом, относительная погрешность измерения величины составляет 3-4%, - 6-7%.

Как видно из рис.3, экспериментальные данные в различных средах с различным значением приведенного коэффициента рассеяния в пределах погрешности измерений совпадают между собой. Это позволяет аппроксимировать полученные данные некоторой однозначной функцией:

(7.1)

которая представлена на рис.3 сплошной линией. Следовательно, в исследуемом диапазоне величин <0.33 (диапазон, типичный для биотканей), , где функция зависит только от отношения , а не от их абсолютных величин. Для <0.06 экспериментальные точки ложатся на прямую , где ==2.86, то есть для таких соотношений положение максимума интенсивности света в среде описывается выражением (3.22). Полученная кривая может быть использована для определения коэффициента поглощения света по экспериментально измеренным коэффициенту экстинкции света и положению максимума интенсивности света в среде :

(7.2)

Затем, используя формулу , можно рассчитать значение приведенного коэффициента рассеяния в исследуемой среде.

Таким образом, полученная ОА методом эмпирическая зависимость величины от коэффициента поглощения света и коэффициента экстинкции света позволяет определять оптические характеристики сильнорассеивающих сред с неизвестными теплофизическими параметрами по временному профилю переднего фронта ОА сигнала, зарегистрированного в относительных единицах.

Б) Численное моделирование методом Монте-Карло.

Зависимость, аналогичная представленной на рис.3, может быть получена при помощи численного моделирования пространственного распределения интенсивности света в исследуемой среде методом Монте-Карло. В данной работе для этого использовалась программа, сходная с применявшейся в [38]. Перед началом вычислений в программе задавались величины коэффициента поглощения света , коэффициента рассеяния света , показателя анизотропии рассеяния света в исследуемой среде, а также известные значения показателей преломления прозрачной и рассеивающей сред, количество фотонов, используемых при моделировании, и границы рассеивающей среды. Величины и определялись по полученному в результате численного моделирования профилю пространственного распределения интенсивности света . Относительная погрешность определения положения максимума интенсивности света составляла 3-5% (при использовании 10⁵ фотонов для моделирования) и была обусловлена статистическим характером полученных при помощи численного моделирования результатов. Ошибка в определении коэффициента экстинкции света не превышала 5% и была связана с тем, что моделирование проводилось для рассеивающей среды конечных размеров (формула , с которой проводилось сравнение, получена в приближении полубесконечной среды).

Диапазон изменения коэффициента поглощения света при проведении численного моделирования составлял =(0.005-10) см^-1, то есть брались величины , близкие к экспериментальным (см. [38,39]). Значения коэффициента рассеяния света и показателя анизотропии рассеяния света подбирались таким образом, чтобы величина приведенного коэффициента рассеяния света точно соответствовала результатам измерения ОА методом. Положение максимума интенсивности света и величина коэффициента экстинкции света , как указывалось выше, измерялись по профилю пространственного распределения интенсивности света в исследуемой среде . Полученные данные были использованы для построения зависимости величины от (индекс “2” означает, что использованы данные численного моделирования, а не экспериментальные результаты), при этом относительная погрешность определения величины составляла около 5%, а - около 8%. Семейство зависимостей для различных значений фактора анизотропии рассеяния света в исследуемой среде представлено на рис.4.

Рис.4: Зависимость произведения положения максимума интенсивности света в рассеивающей среде на коэффициент экстинкции света в среде от отношения коэффициента поглощения света в исследуемой среде к коэффициенту экстинкции , построенные на основе данных численного моделирования методом Монте-Карло.

Как показывает рис.4, при фиксированном соотношении произведение увеличивается с ростом фактора анизотропии рассеяния света . Поведение зависимости величины от отношения полностью обусловлено зависимостью положения максимума интенсивности света от оптических характеристик исследуемой среды. Таким образом, максимум интенсивности света находится тем ближе к границе раздела сред, чем меньше фактор анизотропии рассеяния света в исследуемой среде. Это можно объяснить тем, что при постоянном , отношение также постоянно и, следовательно, тем больше, чем меньше величина . С ростом отношения величина стремится к нулю, как в однородно-поглощающей среде без рассеяния, поэтому при постоянном отношении максимум интенсивности света в рассеивающей среде находится тем ближе к поверхности, чем меньше величина .

Полученные на основе данных численного моделирования зависимости с ростом фактора анизотропии рассеяния света приближаются к зависимости , построенной с использованием значений , и , измеренных ОА методом. Как показывает рис.4, зависимость , соответствующая величине =0.90, в пределах погрешности моделирования в целом совпадает с экспериментальной. Поэтому для больших факторов анизотропии рассеяния (>0.7) численное моделирование проводилось с меньшим шагом по . Полученные при этом зависимости представлены на рис.5.

Рис.5: Зависимость произведения положения максимума интенсивности света в рассеивающей среде на коэффициент экстинкции света в среде от отношения коэффициента поглощения света в исследуемой среде к коэффициенту экстинкции , построенные на основе данных численного моделирования методом Монте-Карло.

Таким образом, искомая зависимость величины от коэффициента поглощения света и коэффициента экстинкции света может быть получена при помощи численного моделирования методом Монте-Карло. Как видно из рис.5, зависимость в пределах погрешности моделирования совпадает с экспериментальной зависимостью для значений фактора анизотропии рассеяния света , причем совпадение тем

лучше, чем больше величина . Это позволяет сделать вывод, что полученная в эксперименте зависимость может применяться для определения оптических характеристик в исследуемой рассеивающей среде если величина фактора анизотропии рассеяния света для этой среды находится в диапазоне , то есть для абсолютного большинства реальных биологических тканей и объектов (см. [12]).

В) Расчеты на основе решения уравнения переноса излучения.

В разд.3 было показано, что пространственное распределение интенсивности света в исследуемой рассеивающей среде может быть рассчитано в P₅-приближении (см. формулу (3.20)), если заданы оптические характеристики этой среды. Затем можно, так же как и в случае численного моделирования методом Монте-Карло, определить величину и и построить зависимости, аналогичные представленным на рис.3,4,5. Эти зависимости, полученные на основе расчетов в P₅-приближении для факторов анизотропии рассеяния света, лежащих в диапазоне , представлены на рис.6 (для сравнения на том же рисунке приведены результаты расчета в P₃-приближении, см. [48]):

Рис.6: Сравнение зависимостей (,), полученных на основе расчетов в Р₅- и Р₃-приближениях, с результатами эксперимента.

Из рис.6 видно, что при >0.15 зависимости величины от отношения (индекс “3” означает, что для построения зависимости использованы данные теоретических расчетов) обнаруживают сильное расхождение с экспериментальной зависимостью . Это расхождение может быть, очевидно, обусловлено двумя причинами. Во-первых, с ростом коэффициента поглощения света максимум интенсивности света в исследуемых рассеивающих средах смещается к поверхности среды и попадает в область пространства, в которой шести членов разложения в (3.11а) оказывается недостаточно для точного описания углового спектра интенсивности света в среде. Полученные результаты позволяют оценить пределы применимости P₅-приближения как , то есть для точного описания пространственного распределения интенсивности света на меньших расстояниях от поверхности исследуемой среды необходимо использовать в формулах (3.11) более высокие порядки разложения (как было указано в [48], пределы применимости P₃-приближения составляют ).

(а)

(б)

Рис.7: Сравнение фазовой функции Хеньи-Гринштейна (3.6) с результатами расчета в Р₅- и Р₃-приближении: (а) для , (б) для

 

Вторым источником ошибок при использовании метода, использованного в разд.3 для решения уравнения переноса излучения, является представление фазовой функции Хеньи-Гринштейна (3.6) в виде (3.11б) (см. рис.7).

Как видно из рис.7, точная фазовая функция (3.6) существенно отличается от таковой, вычисленной в P₅- или P₃-приближении. Фактически, представление фазовой функции в виде (3.11б) с конечным оказывается эквивалентным замене действительной диаграммы рассеяния в исследуемой среде на некоторую “эффективную”, причем разница между ними тем больше, чем меньше . Сравнение “эффективных” фазовых функций, вычисленных в P₅- и P₃-приближении для факторов анизотропии рассеяния света в диапазоне , показывает, что с ростом порядка приближения относительная (т. е. в процентах) разница между ними возрастает. Это хорошо объясняет тот факт, что зависимости (см. рис.6), полученные в P₅-приближении, не совпадают друг с другом при >0.15. С другой стороны, зависимости , рассчитанные в P₃-приближении, совпадают друг с другом во всем исследуемом диапазоне отношений , хотя соответствующие фазовые функции, вычисленные в P₃-приближении, все же заметно различаются между собой. Кроме того, численное моделирование методом Монте-Карло показывает, что искомые зависимости для величин в пределах погрешностей моделирования совпадают как друг с другом, так и с экспериментальной зависимостью , при том что различие фазовых функций в этом случае максимально: использованная при проведении численного моделирования фазовая функция (3.6) может быть получена из (3.11б) при . Суммируя все вышесказанное, можно предположить, что неточности представления углового спектра интенсивности света в среде в виде (3.11а) до некоторой степени способны компенсировать ошибки в представлении (3.11б) фазовой функции Хеньи-Гринштейна. Ясно, однако, что с ростом порядка приближения точность описания пространственного распределения интенсивности света и область пространства, в которой использованное приближение правильно описывает функцию , будут увеличиваться.

Последнее утверждение может быть проиллюстрированно рис.6. Зависимости , полученные в Р₃-приближении, обнаруживают заметное расхождение с экспериментом уже при 0.12, т. е. использование в (3.11а,б,в) шести (Р₅- приближение), а не четырех (Р₃-приближение) членов разложения позволяет расширить диапазон отношений - до 0.15 -, в котором предложенный метод решения уравнения переноса излучения правильно описывает функцию в исследуемой среде. Так как , большие отношения соответствуют большим коэффициентам поглощения света при фиксированной величине . Как было упомянуто выше, с ростом величины максимум интенсивности света в рассеивающей среде приближается к поверхности среды. Таким образом, чем выше порядок приближения , тем ближе к поверхности исследуемой среды можно подойти, не потеряв при этом в точности описания пространственного распределения интенсивности света , то есть использование все больших позволяет, фактически, расширить область применимости используемого приближения. Ниже будет показано, что и в области применимости соответствующего приближения с ростом повышается точность описания функции .

В области значений 0.15 зависимости , полученные на основе решения уравнения переноса излучения в Р₅-приближении, для значений фактора анизотропии рассеяния света в дипазоне в пределах погрешности 4-7% совпадают с экспериментальной зависимостью . Как показывают расчеты, в указанном диапазоне отношений ошибка в определении коэффициента экстинкции света (сравнение производилось с формулой ) не превышает 2%. Следовательно, в области применимости P₅-приближения ошибка в определении величины составляет 3-6%. Как было указано в [48], при использовании P₃-приближения для решения уравнения переноса излучения ошибка в определении составляет 3-10%. Таким образом, сравнение результатов расчета в Р₅- и Р₃-приближениях подтверждает предположение о том, что использование более высоких порядков разложения в (3.11) при решении уравнения переноса излучения позволит повысить точность описания пространственного распределения интенсивности света в исследуемых средах и уменьшить ошибку в определении положения максимума интенсивности света .

(а)

(б)

Рис.8: Сравнение профиля пространственного распределения интенсивности света , полученного при помощи численного моделирования методом Монте-Карло, с результатами расчета в Р₅- и Р₃-приближении для малых и больших отношений : (а) 0.15 (б) >0.15; толстая сплошная линия – численное моделирование методом Монте-Карло, толстая пунктирная линия – диффузионная теория, тонкая штриховая линия – расчет в Р₃-приближении, тонкая пунктирная линия – расчет в Р₅-приближении, точки (рис8а) – эксперимент.

На рис.8 представлено сравнение профиля пространственного распределения интенсивности света , полученного при помощи численного моделирования методом Монте-Карло, с результатами расчета в Р₅- и Р₃-приближении для малых и больших отношений . Как видно из рис.8а, при малых отношениях (=0.043, то есть в области применимости обоих приближений) результаты расчетов и численного моделирования достаточно близки между собой, причем в области они, как и ожидалось, совпадают с результатами расчета в диффузионном приближении (3.4). При этом характерной особенностью функции , вычисленной в Р₃-приближении, является наличие локального минимума на очень малом - ~ - расстоянии от поверхности исследуемой среды. Как показывают расчеты, с ростом коэффициента поглощения света величина не изменяется. Таким образом, Р₃-приближение в любом случае, даже в области применимости (при 0.12), неправильно описывает функцию на расстояниях меньших (эта цифра учитывает малую переходную область вблизи локального минимума). Подобного недостатка, очевидно, лишена функция , вычисленная в Р₅-приближении, которая и при всех хорошо совпадает с результатом численного моделирования методом Монте-Карло - разница нигде не превышает 3-5% - и пространственным распределением интенсивности света , измеренным ОА методом в модельной рассеивающей среде с соответствующими значениями и (см. рис.8а).

С ростом отношения (рис.8б, =0.227) картина изменяется. В области применимости диффузионного приближения функции , полученные при помощи численного моделирования и расчитанные в Р₅-/ Р₃-приближении по-прежнему совпадают, однако на меньших расстояниях от поверхности исследуемой среды их сравнение теряет смысл, так как при любых разница превышает 10%. К тому же положение максимума интенсивности света в исследуемой среде определяется неправильно по сравнению с численным моделированием методом Монте-Карло. Как видно из рис.8б, при больших отношениях Р₃-приближение дает завышенное значение величины , а Р₅-приближение – заниженное. Учитывая, что независимо от порядка приближения коэффициент экстинкции света с точностью до 2% совпадает с формулой , становится понятным поведение зависимостей (см. рис.6), полученных в соответствующем приближении.

Ошибка в определении величины в области также увеличивается с ростом . Сравнение результатов расчета по формуле (3.20) с данными численного моделирования методом Монте-Карло показывает, что для она увеличивается с 3-5% при малых отношениях и достигает 8-9% на границе зоны применимости Р₅-приближения. Необходимо отметить, что и в этом случае увеличение порядка приближения повысило точность описания функции , так как ошибка в определении величины в Р₃-приближении составляла ~10% на границе области применимости Р₃-приближения.

Таким образом, был рассмотрен приближенный метод решения уравнения переноса излучения в исследуемой рассеивающей среде. Искомая универсальная зависимость для факторов анизотропии рассеяния света в диапазоне , полученная в Р₃- и Р₅-приближениях, совпала с экспериментальной зависимостью в области применимости соответствующих приближений.