1.2. Временные профили оптико-акустических сигналов и их трансформация при распространении в линейной среде.

Метод передаточных функций, использованный в предыдущем параграфе, позволяет найти спектр ОА сигнала. Как не трудно заметить, однако, такой подход может быть применен только в том случае, когда нелинейные, дифракционные и диссипативные явления проявляются слабо в зоне генерации, т.е.

(1.2.1)

где - соответственно характерные длины затухания, нелинейности и дифракции звука. Указанные соотношения (1.2.1) позволяют анализировать тепловое возбуждение звука поэтапно. На первом этапе рассматривается задача о тепловом возбуждении звука в отсутствии диссипативных, дифракционных и нелинейных эффектов. На втором - эволюция профиля ОА импульса в нелинейной диссипативной среде при ограниченных поперечных размерах пучка [4] и в отсутствии тепловых источников.

Уравнение, описывающее такую эволюцию волны, - уравнение Хохлова-Заболотской-Кузнецова [5] - может быть записано в виде:

(1.2.2)

где e - нелинейный акустический параметр поглощающей среды, - коэффициент диссипации. В случае, когда ОА сигнал распространяется и регистрируется в прозрачной среде (косвенная схема регистрации), в (1.2.2) нужно заменить на , - на и все параметры поглощающей среды - на соответствующие им значения для прозрачной среды.

В общем случае решение (1.2.2) возможно только численным образом. Аналитические результаты могут быть получены в случаях сильного различия масштабов проявления отдельных эффектов. При распространении ультразвука в твердых телах влияние нелинейных искажений на профиль ОА сигнала (даже при его амплитуде в десятки атмосфер) существенно слабее, чем влияние диссипации и дифракции [3]. Поэтому ограничимся рассмотрением двух последних факторов.

Если , то уравнение (1.2.2) значительно упрощается и имеет следующий вид:

(1.2.3)

частотный спектр решения которого представим в виде

(1.2.4)

В качестве граничного условия используется решение задачи термооптического возбуждения звука (1.1.2). Соответственно временное представление будет иметь вид:

(1.2.5)

Решение (1.2.4) показывает, что в этом случае спектр возбуждаемой волны домножается на диссипативный фактор, который приводит к прогрессирующему по мере распространения затуханию высокочастотных компонент сигнала. Поэтому под влиянием диссипации происходит сглаживание резких градиентов во временном профиле сигнала.

На больших расстояниях спектр ОА сигнала ограничивается диссипативным фактором и профиль сигнала имеет универсальный гауссовый вид:

(1.2.6)

- для жесткой границы поглощающей среды и его производной

(1.2.7)

- для свободной границы (- плотность энергии, падающего на среду излучения). Амплитуда возбуждаемого при жесткой границе ОА сигнала убывает в диссипативной среде пропорционально при свободной - пропорционально На расстояниях профиль сигнала имеет универсальную форму и все детали распределения тепловых источников звука стираются.

При термооптическом возбуждении звука радиус акустического пучка на поверхности поглощающей среды z=0 совпадает с радиусом лазерного пучка . В зависимости от соотношения радиуса пучка и глубины проникновения света фазовый фронт акустической волны может быть близким к плоскому (), цилиндрическому () или сферическому ().

В случае цилиндрического и сферического фазового фронта профиль оптико-акустического сигнала не изменяется при распространении [6]. Если же исходно фронт волны близок к плоскому, то ситуация несколько сложнее. На расстояниях z порядка ( - длина звуковой волны) пучок расплывается (поперечное сечение увеличивается в два раза) за счет дифракции [7]; на расстояниях фронт волны становится близок к сферическому. Отличительной особенностью оптико-акустических сигналов является широкий диапазон содержащихся в них частот. Поэтому длины волн гармонических составляющих сигнала изменяются в широких пределах и, соответственно, длины дифракции отдельных гармоник существенно различны. Низкочастотные составляющие спектра дифрагируют быстрее высокочастотных (на меньших расстояниях). В то же время, для достижения высокого пространственного разрешения необходимо зарегистрировать сигнал в возможно более широкой полосе частот. Поэтому наиболее целесообразно регистрировать акустическую волну, распространяющуюся по нормали к границе поглощающей среды.

Если для всех гармоник ОА сигнала выполнено соотношение , то уравнение (1.2.2) сводится к параболическому уравнению теории дифракции [3, 8]:

(1.2.8)

Считая поперечное распределение интенсивности света в пучке гауссовым, граничное условие задачи дифракции можно записать в виде:

(1.2.9)

где - профиль волны на границе поглощающей среды. При распространении импульса для каждой из гармонических составляющих в (1.2.9) гауссово поперечное распределение сохраняется и решение может быть записано в виде:

(1.2.10)

На оси пучка () решение (1.2.10) может быть упрощено [9]:

(1.2.11)

где . Первое слагаемое в (1.2.11) повторяет форму сигнала на границе и соответствует решению в случае плоской волны; второе слагаемое описывает влияние ограниченности ширины пучка. Характерная частота (“дифракционная” частота) растет с увеличением расстояния z и с уменьшением площади поперечного сечения пучка. В дальней волновой зоне () решение (1.2.11) переходит в

(1.2.12)

Как видно из (1.2.12), в дальней зоне профиль волны переходит в производную профиля на границе и его амплитуда убывает обратно пропорционально пройденному волной расстоянию.

Для случая однородного поглощения света () и короткого лазерного импульса (, интеграл (1.2.11) удается выразить в элементарных функциях [9]:

(1.2.13)

(1.2.14)

(1.2.15)

где - характерная частота спектра оптико-акустического сигнала, - безразмерное расстояние, выраженное в длинах дифракции на частоте . Формула (1.2.14) получена для акустически жесткой границы поглощающей среды; формула (1.2.15) - для свободной границы. В общем случае конечного решение может быть выражено через представленные решения и :

(1.2.16)

Как видно из формул (1.2.14) и (1.2.15), передний фронт сигнала () при прямой регистрации сохраняет экспоненциальную форму на любом расстоянии от границы. При сигнал образуется разностью двух экспонент с показателями, определяемыми коэффициентом поглощения света () и дифракцией (). В зависимости от их соотношения (величины D) каждая из них проявляется либо при малых, либо при больших . На малых расстояниях () при малых профиль ОА-сигнала определяется поглощением света, а дифракционное слагаемое будет существенно только при . На больших расстояниях () - наоборот, при малых () сигнал изменяется по экспоненте с показателем , а при - с показателем .

Дифракционная трансформация оптико-акустических сигналов для различных значений D при прямой и косвенной регистрации приведена на рис.1.2.1.

Рис.1.2.1. Дифракционная трансформация ОА сигнала при прямой и косвенной регистрации: (а) - жесткая граница поглощающей среды, (б) - свободная граница поглощающей среды, (в) - косвенная регистрация.

При прямой регистрации и жесткой границе (рис.1.2.1а) первоначально симметричный импульс сжатия по мере распространения (увеличения значения D) приобретает вид следующих друг за другом импульсов сжатия и разрежения. Как видно, даже на достаточно малых расстояниях () фаза разрежения проявляется весьма заметно. При свободной границе (рис.1.2.1б) первоначальный импульс, содержавший фазу сжатия и фазу разрежения, приобретает сложный "трехполярный" характер: амплитуда фазы разрежения относительно возрастает, и ее длительность укорачивается; следом за ней появляется вторая фаза сжатия. И при жесткой, и при свободной границе временная форма переднего фронта () не искажается при дифракции.

При косвенной регистрации сигнала (рис.1.2.1в) распространяющийся в прозрачной среде ОА сигнал имеет резкий передний фронт (с временем нарастания порядка длительности лазерного импульса) и затем спад, определяемый разностью двух экспонент. Первоначальный импульс сжатия укорачивается и появляется следующий за ним импульс разрежения.

Рис.1.2.2. Составляющие ОА сигнала при косвенной регистрации: (а) - на малых расстояниях, (б) - в дальней волновой зоне. 1 - экспонента, обусловленная поглощением света, 2 - экспонента, обусловленная дифракцией, 3 - результирующий сигнал.

На малых расстояниях или при достаточно большом поглощении света (, рис.1.2.2а) спад сигнала (3) сначала следует экспоненте с показателем (1) (при ), а в дальнейшем - экспоненте с показателем (2) () (см. рис.1.2.2а). При переходе в дальнюю зону или при слабом поглощении света () картина меняется на обратную. При (рис.1.2.2б) ОА сигнал будет состоять из короткого импульса с длительностью на экспоненциальном пьедестале с показателем убывания .

Если ОА сигнал зарегистрирован на известном расстоянии z=L (в поглощающей или прозрачной среде), то по его временному профилю с учетом дифракционных искажений можно восстановить (см. (1.2.11)).

(1.2.17)

где в данном случае - частота волны, для которой длина дифракции .

Соотношение масштабов проявления дифракционных и диссипативных явлений описывается безразмерным числом

(1.2.18)

которое пропорционально кубу частоты. На высоких частотах преобладает диссипация, на низких - дифракция.

Таким образом, поэтапный подход позволяет рассчитать форму ОА сигнала, возбуждаемого в поглощающей среде с известными теплофизическими параметрами, и проанализировать диссипативные и дифракционные искажения импульса при распространении в исследуемой среде. Использование данного метода, как будет показано ниже, дает возможность провести широкие исследования оптических, акустических и механических свойств гетерогенных сред.