§ 2.2. Теоретический расчет пространственного распределения интенсивности света в условиях многократного рассеяния.

Рассмотрим полубесконечную среду с коэффициентами поглощения и рассеяния света m_a и m_s соответственно и, занимающую полупространство z>0. Пусть рассеяние является изотропным и преобладает над поглощением (), то есть в среде реализуется режим многократного рассеяния излучения [32]. При падении на такую среду светового импульса с плоским волновым фронтом (временная зависимость интенсивности , характерная длительность импульса ) интенсивность излучения внутри среды может быть представлена как сумма ослабленного первичного пучка фотонов, еще не претерпевших рассеяние, и диффузного поля рассеянного света . Первая из этих составляющих быстро спадает с увеличением z [32]:

(2.2.1)

Для нахождения диффузной компоненты интенсивности воспользуемся уравнением баланса фотонов:

q₀ - q_s - q_a = (2.2.2)

где q₀, q_s, q_a, соответственно число фотонов в единицу объема в единичном телесном угле рождающихся в среде, рассеянных и поглощенных за единицу времени. Тогда величина

(2.2.3)

является полным скалярным потоком фотонов через единичную площадку в единицу времени, а - полной интенсивностью диффузного света в рассеивающей среде.

Рассмотрим маленькую площадку , лежащую внутри рассеивающей среды в плоскости (x,y) в координатной системе, представленной на рис.2.2.1.

Рис.2.2.1 Система координат для расчета диффузного поля.

Число фотонов, рассеянных в единичном объеме , расположенном в точке с координатами , за единицу времени составит . Предположим вначале, что рассеяние является изотропным. Тогда вероятность того, что фотон рассеется в направлении площадки , т.е. в направлении, определяемым телесным углом , составит . Предположим также, что в среде отсутствует поглощение. Вероятность того, что фотон, рассеянный единичным объемом в направлении достигнет рассматриваемую площадку равна . Следовательно, число фотонов, рассеянных единичным объемом в направлении , составит:

(2.2.4)

Если - плотность тока фотонов в отрицательное z направление, то полное число фотонов, проходящих за единицу времени через площадку в отрицательное z направление составит

(2.2.5)

Для вычисления интеграла необходимо знать как функцию пространственных координат, поэтому разложим в ряд Тейлора на поверхности [33]:

(2.2.6)

Вводя сферические координаты и проводя интегрирование, получим:

(2.2.7а)

Аналогично, плотность тока фотонов в положительном z направлении

(2.2.7б)

Следовательно, полная плотность тока в z направлении

(2.2.7в)

В (2.2.6) были учтены только первые члены разложения, потому что члены второго порядка дают одинаковые вклады в и ; так, полная плотность тока через поверхность не меняется. Если единичная площадка расположена произвольно в координатной системе, то

(2.2.8)

Величина называется коэффициентом диффузии для потока фотонов [33, 34]. Если в рассеивающей среде существует поглощение, причем <<+, и рассеяние не является изотропным, то выражение для D должно быть скорректировано с учетом индикатрисы рассеяния и поглощения незначительной части излучения [34]:

(2.2.9)

где - коэффициент полного ослабления.

Обычно при рассмотрении диффузии фотонов в сильнорассеивающих средах используют выражение:

(2.2.10)

а величину называют средней транспортной длиной свободного пробега фотона.

Следовательно, число фотонов, рассеянных в единичном объеме за единицу времени составит

(2.2.11)

Учитывая, что число фотонов, поглощенных в единичном объеме за единицу времени

(2.2.12)

получим искомое уравнение диффузии в следующем виде:

(2.2.13)

Домножая обе части уравнения на , перепишем (2.2.13) в виде:

(2.2.14)

где и - соответственно распределение источников и объемная плотность энергии диффузионного поля в среде. Это уравнение достаточно хорошо описывает функцию вдали от границы рассеивающей среды (при ) и источников излучения.

Если время жизни фотона в среде много меньше длительности лазерного импульса (), то можно считать процесс рассеяния света в среде квазистационарным. Учитывая также, что на рассеивающую среду падает плоская волна, окончательно получим одномерное стационарное уравнение диффузии [15]:

(2.2.15)

где .

Для расчета пространственного распределения интенсивности света с среде необходимо дополнить это уравнение граничными условиями. Для простоты будем сначала считать, что показатели преломления прозрачной и рассеивающей сред одинаковы, т.е. отражение падающего на среду излучения отсутствует. Тогда, аналогично граничному условию для плотности тока в электродинамике (см., например, [32]), положим равенство нормальных компонент плотности потока фотонов на границе раздела:

(2.2.16а)

(2.2.16б)

где знаки (^tr) и (^sc) относятся, соответственно, к прозрачной и рассеивающей среде. Переписывая это условие для интенсивности, согласно (2.2.6) получим:

(2.2.17а)

(2.2.17б)

Учитывая, что на границе (при ) , т.е. в прозрачной среде отсутствует ток фотонов, направленный к границе рассеивающей среды, получим:

(2.2.18)

Записанное граничное условие может быть приближенно заменено “линейно-экстраполированным” [37-39] (см. рис.2.2.2): функция заменяется в прозрачной среде ее линейной экстраполяцией так, что наклон прямой соответствует .

Рис.2.2.2 Экстраполяция граничного условия для уравнения диффузии фотонов.

Следовательно, расстояние в прозрачной среде, на котором обращается в ноль, вычисляется из следующего соотношения:

(2.2.19)

т.е.

(2.2.20)

Точное решение так называемой задачи Милна об отражении плоской световой волны от полубесконечной случайно-неоднородной среды [32] дает

(2.2.21)

В случае когда показатели преломления прозрачной () и рассеивающей () [39] не равны, при расчете необходимо принять во внимание отражение части излучения на границе рассеивающей среды. Это приводит к следующему результату [35, 36, 39]:

(2.2.22)

где - постоянная, зависящая от соотношения показателей преломления прозрачной () и рассеивающей () [39] сред; эффективный коэффициент отражения диффузного излучения от границы раздела:

(2.2.23)

(2.2.24)

где и - соответственно коэффициенты отражения для скалярного потока и плотности тока фотонов.

(2.2.25)

где - угол полного внутреннего отражения, .

Таким образом, в первом приближении граничное условие для на поверхности среды и функцию распределения источников S(z) можно представить в виде:

(2.2.26)

(2.2.27)

где d(z)- дельта-функция Дирака, - глубина, на которой падающее на среду коллимированное излучение преобразуется в диффузное.

Решение уравнения (2.2.15) с граничным условием (2.2.26) и с учетом (2.2.27) при дает:

(2.2.28)

Таким образом, интенсивность света внутри рассеивающей среды на расстояниях

(2.2.29)

где функция

(2.2.30)

описывает пространственное распределение интенсивности света в диффузионном приближении и на расстояниях определяется только диффузной компонентой рассеянного светового поля (второе слагаемое в (2.2.30)), поскольку в приближении коэффициент экстинкции света . Традиционно используемое выражение [19, 20] при выходит за пределы точности модели и в рамках диффузионного приближения совпадает с введенным выше выражением (см. (2.2.10)).

В общем случае интенсивность света в рассеивающей среде представляется в виде , однако в области пространственное распределение интенсивности света в среде H(z) не может быть выражено аналитической функцией [19, 20]. Численное моделирование методом Монте-Карло показывает, что H(z) имеет локальный минимум на границе рассеивающей среды z=0, а максимум интенсивности света наблюдается под поверхностью среды на глубине , определяемой транспортной длиной свободного пробега фотона и эффективным коэффициентом отражения диффузного излучения от границы рассеивающей и прозрачной сред и не зависящей от величины коэффициента поглощения света . Для была найдена приближенная формула [27]:

(2.2.31)

В то же время, H(z) при совпадает с распределением (2.2.30). Поэтому на таких расстояниях диффузионное приближение применимо для расчета пространственного распределения интенсивности света в рассеивающей среде.