|
§ 3.2. Теоретическая модель распространения плоских акустических волн в одномерных периодических структурах. В данном параграфе теоретически анализируется распространение продольных акустических волн в одномерной ПС, состоящей из n плоскопараллельных слоев (рис.3.2.1), имеющих в общем случае различные толщины, плотности и скорости распространения акустических волн. Будем считать эти величины заданными. 
Рис. 3.2.1. Схема распространения акустической волны в одномерной периодической структуре.Предположим, что ПС помещена в жидкость, и пусть на структуру нормально падает широкий акустический пучок с плоским волновым фронтом. Тогда можно пренебречь возникновением сдвиговых волн при отражениях от границ слоев ПС. Возьмем акустическую волну частоты w , падающую на структуру, в виде: где P0 — амплитуда волны давления, VL0 — скорость распространения продольных акустических волн в жидкости.На границе иммерсионной среды и первого слоя ПС волна частично отразится и частично пройдет дальше. Коэффициенты отражения и пропускания определяются соотношением акустических импедансов жидкости и слоя. Подходя к следующей границе, у волны появляется набег фазы, она частично отражается, частично проходит и так далее. На каждой границе слоев структуры процесс повторяется. Таким образом, в каждом слое будут распространяться две волны (рис. 3.2.1). Для отдельного слоя волну давления можно записать как сумму волн, распространяющихся в противоположных направлениях: где компонента с индексом “+” распространяется в направлении падающей волны, компонента с индексом “-“ в обратном направлении, k — номер слоя, VL,k — скорость распространения продольных волн в k-ом слое.Проходя через многослойную структуру, падающая волна испытает многократное отражение. Будем рассматривать волну, прошедшую всю структуру и связанную с падающей волной через коэффициент пропускания Т, следующим соотношением: Если положить амплитуду падающей волны равной единице ( P0=1), то задача по определению коэффициента пропускания сводится к определению амплитуды прошедшей волны. Для её нахождения нужно использовать граничные условия. Связь давления с колебательной скоростью частиц в продольной упругой волне: где r k - плотность среды k-ого слоя. Будем считать, что на каждой границе выполняются условия непрерывности давления и колебательной скорости, которые можно записать в виде: где k изменяется от 0 (первая граница) до n. В результате имеем систему 2(n+1) линейных неоднородных уравнений, что является достаточным для нахождения нетривиального решения:
Для нахождения коэффициента пропускания слоистой структуры T решение проводится численным моделированием с использованием математического пакета программ “Matlab”.Данная методика позволяет найти зависимость коэффициента пропускания ультразвука одномерной ПС от частоты. Введение комплексного значения скорости распространения продольных акустических волн позволяет исследовать также и поглощающие ПС. Вышеизложенный подход дает возможность исследовать пропускание акустических волн для произвольных одномерных структур. Прежде чем перейти непосредственно к экспериментальным результатам, рассмотрим результаты численного моделирования, проведенные по описанному выше методу. Такие данные необходимы для проверки справедливости применяемого подхода и определения достоверности получаемых в эксперименте результатов. В работе моделировалось распространение акустических волн в ПС, состоящих из двух материалов с известными акустическими свойствами. В спектре пропускания таких структур обнаруживаются полосы прозрачности и непрозрачности –“stop bands” (рис. 3.2.2).
Рис. 3.2.2. Спектр пропускания акустических волн ПС, имеющей период 2.6 мм и состоящей из 10 слоев оргстекла и 9 слоев воды при различных толщинах слоев: (d1 = 1.6 мм, r 1 = 1.2 г/см3, VL1 = 2.67 мм/мкс, d2 = 1 мм, r 2 = 1 г/см3, VL2 = 1.482 мм/мкс) - жирная линия, - ( = 1.5 мм,  = 1.1 мм) - тонкая линия.
Спектры пропускания и отражения чувствительны к вариациям параметров слоя (толщины, импеданса и т.д.). В частности, изменение толщины слоев при постоянном периоде структуры (см. рис. 3.2.2) вызывает сдвиг полос непрозрачности, изменение их ширины и появление новых полос прозрачности. Объяснение такого поведения – это дополнительный набег фазы, вызываемый изменениями в ПС. В результате волна данной частоты может уже не проходит через ПС, что, очевидно, приведет к изменениям спектра пропускания. Возвращаясь к аналогии между распространением электромагнитных и акустических волн, можно заметить, что данный механизм реализуется в эталоне Фабри-Перо. Эталоны различной длины при прочих равных условиях имеют различные спектры пропускания и отражения. Расчет коэффициента пропускания акустической волны слоистой ПС без поглощения, у которой изменен импеданс одного слоя, дает локальный максимум в полосе непрозрачности (рис. 3.2.3). Величина и положение локального максимума зависят от положения дефектного слоя в ПС. Амплитуда локального максимума имеет наибольшее значение, если дефектный слой расположен в середине структуры. Это можно объяснить тем, что проходя структуру, волна слабее чувствует расфазировку, вносимую первыми и последним слоем.
Рис. 3.2.3. Спектр пропускания акустических волн для ПС, состоящей из 10 слоев оргстекла (d1 = 1.6 мм, r 1 = 1.2 г/см3, VL1 = 2.67 мм/мкс) и 9 слоев воды (d2 = 1 мм, r 2 = 1 г/см3, VL2 = 1.482 мм/мкс), в которой 9-ый слой (тонкая линия) или 13-ый слой (жирная линия) имеет следующие постоянные: d = 1 мм, r = 1.27 г/см3, V = 2.43 мм/мкс.В реальных средах всегда имеется поглощение акустических волн, которое растет с увеличением частоты. При учете поглощения коэффициент пропускания ультразвука уменьшается с ростом частоты. Поэтому амплитуда локальных максимумов при расчете ПС с дефектом тоже уменьшаются, а положение этих максимумов остается прежним (рис.3.2.4).
Рис. 3.2.4. Спектры пропускания акустических волн ПС, состоящей из 10 слоев оргстекла (d1 = 1.6 мм, r 1 = 1.2 г/см3, VL1 = 2.67 мм/мкс) и 9 слоев воды (d2 = 1 мм, r 2 = 1 г/см3, VL2 = 1.482 мм/мкс), в которой 5-ый слой оргстекла заменен водой: без учета поглощения (тонкая линия) и с учетом поглощения (a l )-1=30 в оргстекле (жирная линия).Таким образом, поглощение ультразвука значительно осложняет диагностику ПС с дефектами.
|
(3.2.1)
(3.2.2)
(3.2.3)
(3.2.4)
(3.2.5)
