4.2 Теоретическая модель распространения ультразвука в однонаправленных графито-эпоксидных композитах: длинноволновый случай.

Как было замечено в предыдущем параграфе, неразрушающий контроль композитов, в частности контроль процесса старения, можно осуществить, зная полный набор упругих модулей материала и исследуя изменение модулей в процессе эксплуатации. Однако только для узкого класса композитных материалов возможно измерение матрицы жесткости, что связано со сложным характером анизотропии последних [68,103]. В случае однонаправленных г/э композитов логично предположить, что при распространении упругих волн в длинноволновом случае, вещество будет вести себя как квазиоднородное и трансверсально-изотропное с осью симметрии, определяемой направлением волокон. Измерение полного набора упругих модулей в таком приближении возможно [102,104]. В данном параграфе будут получены формулы [80], позволяющие найти упругие константы трансверсально-изототропных веществ по их плотности и фазовым скоростям, распространяющихся в них УЗ волн.

Возмущенное состояние идеально упругой среды характеризуется вектором упругих смещений

(4.2.1)

определяющим отклонение материальной точки среды от положения равновесия в возмущенном состоянии. По полю смещений определяются компоненты линейного тензора деформаций

, i,k=1,2,3.

(4.2.2)

Реакция среды на деформацию описывается тремя координатными векторами напряжений

, i=1,2,3.

(4.2.3)

Вектором определяется плотность, с которой элементы среды, расположенные по положительную сторону от бесконечно малой площадки dS, проходящей через точку среды и имеющей нормаль , действуют на элементы среды, расположенные по отрицательную сторону площадки dS. Заметим, что тензоры и tik, исходя из определений, являются симметричными.

Обычно в теории упругости предполагается, что напряжения можно разложить в ряд по степеням деформаций

(4.2.4)

В линейной теории упругости предполагается, что деформации малы, а разложение (4.2.4) ограничивается только первыми двумя членами (причем tij(0)=0). Тогда связь между напряжениями и деформациями будет выглядеть следующим образом:

где

(4.2.5)

Выражение (4.2.5) представляет собой закон Гука в линейной среде. Коэффициенты cijkl выражают в общем виде линейное соотношение между тензорами второго ранга и tij и образуют тензор четвертого ранга - тензор модулей упругости (матрицу жесткости). Матрица жесткости содержит 3⁴=81 компоненту, но поскольку тензоры и tij симметричны, то модули упругости не должны меняться при перестановке двух первых или двух последних индексов. Следовательно число независимых упругих констант тензора сijkl - 36. Для сокращения записи вводятся следующие обозначения индексов:

(11) « 1

(22) « 2

(33) « 3

(23)=(32) « 4 ; Þ сijkl « сa b .

(31)=(13) « 5

(12)=(21) « 6.

При переходе из одной ортогональной системы координат к другой матрица жесткости преобразуется следующим образом:

(4.2.6)

где по всем повторяющимся индексам идет суммирование.

Исходя из симметрии рассматриваемого класса веществ и закона преобразования (4.2.6), непосредственно следует, что ненулевых компонент у матрицы жесткости трансверсально изотропных веществ всего двенадцать:

(4.2.7)

Т.к. ось совпадает с осью симметрии, то, учитывая инвариантность свойств трансверсально изотропных веществ относительно поворота на любой угол вокруг этой оси, получим матрицу жесткости в следующем виде:

(4.2.8)

где . Эта матрица (в главных осях) имеет всего пять независимых упругих модулей. Для их расчета необходимо определить связь между ними и фазовыми скоростями УЗ волн.

Сила, действующая на единичный объем тела, испытывающий внутреннее напряжение tij, равна . Без учета силы тяжести ускорение вдоль оси , сообщаемое этой силой массе r единичного объема равно:

(4.2.9)

Используя закон Гука (4.5), получим уравнение движения в виде [115]:

(4.2.10)

Будем искать решение этого уравнения в виде плоской волны, распространяющейся в направлении, определяемом единичным вектором нормали k:

(4.2.11)

где V и e - фазовая скорость и вектор поляризации плоской волны, распространяющейся в направлении k. Тогда получим:

(4.2.12)

Вводя тензор второго ранга Гil , запишем уравнение (4.2.12) в виде:

Гil el = r V2 ui(4.2.13)

Уравнение (4.2.13) называется уравнением Кристоффеля, которое показывает, что вектор поляризации e является собственным вектором тензора Гil с собственным значением .

Таким образом, для определения скорости и поляризации плоских волн, распространяющихся вдоль направления k в анизотропной среде с матрицей жесткости cijkl, нужно найти собственные вектора и собственные значения тензора Гil. Следовательно, в общем случае для данного направления существуют три скорости, являющиеся корнями характеристического уравнения [116]:

| Гil - r V2d il | = 0 .(4.2.14)

Так как матрица жесткости cijkl является симметричной, то тензор Гil также будет симметричным, и его собственные значения будут являться действительными величинами, а собственные вектора - ортогональными. Поэтому в анизотропной среде вдоль направления k могут распространяться три плоские волны с различными скоростями и ортогональными поляризациями .

Для трансверсально изотропных веществ компоненты тензора Гil будут иметь вид:

Г11 =

Г12 =

Г13 = (4.2.15)

Г22 =

Г23 =

Г33 = .

Выражения (4.2.15) показывают, что варьируя направление распространения УЗ волны в трансверсально изотропном веществе, можно получить искомую связь фазовых скоростей с упругими модулями.

Пусть акустическая волна распространяется вдоль оси симметрии (), тогда:

Г11 = = , Г22 = Г33 = = (4.2.16)

Первый корень соответствует соответствует чисто продольной акустической волне; два других - чисто поперечным волнам, распространяющимся вдоль оси и поляризованным вдоль осей и соответственно.

Таким образом, можно определить упругие модули и . Аналогично по фазовым скоростям упругих волн, распространяющихся вдоль оси , можно найти модули и .

Смешанный модуль c₁₂ не удается определить, исследовав распространение акустических волн только вдоль главных осей трансверсально-изотропного вещества. Для его нахождения необходимо рассмотреть распространение УЗ волн в других направлениях (проще всего в плоскости (). Пусть g - угол между осью симметрии x₁ и направлением распространения волны k. Решая задачу на собственные значения, получим следующие корни характеристического уравнения (4.2.13):

Cледовательно, зная фазовые скорости квазипродольной (QL) и квазипоперечных (QT) волн в плоскости волокон, можно согласно формулам (4.2.17) вычислить недостающий упругий модуль . Таким образом, будет определена вся матрица жесткости ca b .